Quantum Mechanics

5个基本假设

微观粒子的运动状态由波函数描述

波函数满足薛定谔方程

力学量用线性厄米算符表达

对某个量子态进行某个力学量的测量，结果必为该力学量算符的本征值之一

全同粒子的交换不改变系统的状态

经典物理学的困难

黑体辐射-能量量子化

  • 平衡状态下，黑体辐射的能量密度按波长分布的关系只与温度有关，与黑体结构和材料无关的现象用经典理论无法解决。

  • 普朗克提出：能量量子化的观点，只能吸收或发射hv的能量子整数倍的辐射，并提出黑体辐射公式，解释了黑体辐射原理

光电效应-光的量子化

  • 光照在金属上会有电子逸出，这种电子叫光电子。

  • 瞬时发生 光强只影响光电流大小 有截止频率 光电子能量只与照射频率有关

  • 爱因斯坦提出光电效应方程，认为光也是量子化的，解释了光电效应

康普顿效应-光子说

  • xray被电子散射后波长随着散射角增加而增大

  • 把此过程看作是光子和电子碰撞则可以解释，碰撞过程动量和能量守恒

氢原子光谱线分立结构、原子稳定性

  • bohr理论

    • 定态假设：电子只沿着特殊的轨道运动，这组特殊轨道运动的电子处于定态 电子从一个定态跃迁到另一个定态时吸收或发出辐射hv=Em-En 角动量量子化

实物粒子的波粒二象性

  • 德布罗意关系

    • 微观粒子的x p不能同时确定

      • 引出QM

  • 德布罗意波-描写自由粒子的平面波

    • 戴维孙革末实验验证德布罗意假说

  • 正确解释

    • 微观粒子是量子概念下的波：不代表某个物理量在空间的实际波动，而是满足态叠加原理，是几率波，模的平方是t，r，发现粒子的概率

    • 微观粒子是量子概念下的粒子：具有一定的能量动量质量等粒子的属性，但没有固定的轨道，运动规律不遵从牛顿运动定律

量子态：微观粒子运动状态-描述方法

波函数φ(r,t)

  • 物理意义

    • 描述微观粒子的运动状态，是一种概率波。 波函数模的平方（概率密度）：t时刻，r处，单位体积元内发现粒子的概率

  • 波函数的标准条件：单值、有限、连续

  • 与经典波函数的区别

    • QM中，波函数乘系数A后，Aφ代表的强度不变，经典中振幅改变则强度不同。 （粒子在各点出现的几率取决于波函数在各点的相对强度）

    • 描述微观粒子运动状态，模方具有概率意义；经典波描述一种场的实际运动轨迹

    • 量子力学中，波处于某种状态中，力学量的值有很多种，每种具有一定的概率出现；经典中由波函数可以得到确定的物理量

  • 连续性方程-概率守恒

  • 量子态叠加原理

    • 如果φ1，φ2…..φn是体系可能的状态，那它们的线性叠加所得的波函数φ=c1φ1+c2φ2+…….+cnφn也是体系的一个可能状态

    • 与经典波叠加的区别

      • 经典的光波、声波强度叠加可以解释干涉衍射现象，这个波的每个子波具有确定的波长、频率等物理量

      • 态叠加原理是波的相干叠加性和波函数完全描述一个微观体系的状态 这两个概念的概括。在φ态中测量F可能得到φ1或φ2，有不确定性。

薛定谔方程

  • 含时&定态

    • 含时SE

    • 什么是定态、束缚态、束缚态波函数？

      • 定态：体系处于PSI(x)=φ(x)exp(-i/hbar Et)所描述的状态时，能量具有确定值，这种状态称为定态，定态中概率密度ω和概率流密度J都与时间无关

      • 束缚态：在无穷远处为零的波函数描写的状态。一般来说，能级分立

      • 束缚态波函数：在无穷远处为零的波函数

    • 什么是本征函数、本征值、本征方程

      • 一个算符F作用于某一状态函数φ等于一个常数乘φ，Fφ=λφ为本征方程

      • 这个状态对应的波函数是本征函数，这个状态下A有确定的数值λ为本征值

  • 证明

    • 一维束缚态波函数不简并

  • 精确解

    • 一维无限深势阱

      • 本征值&本征函数

      • a宽度、坐标轴原点建立在哪里

    • 一维线性谐振子

      • 本征值&本征函数

      • 二维、三维

        • 分离变量

    • 刚转子

      • 平面

      • 空间

    • 势垒

      • V(x)分段——定态SE也分段

        • 解法：特征方程解出通式+在临界点处的条件

          • 波函数连续

          • 波函数一阶导数连续

            • flag:势能若为δ函数，则一阶导数不连续

      • 隧道效应

        • 粒子能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象

        • 举例与之相关物理现象

          • 扫描隧道显微镜

          • 隧道二极管

        • 隧穿效应与哪些物理量有关

          • 势垒高度、宽度、粒子能量、质量

    • 氢原子

      • 本征值&本征函数

      • [H , L^2 , LZ]=0对易

  • 有相同本征函数

  • 周期势

    • 出现能带结构

  • 近似解

    • 定态微扰

      • 定态非简并微扰

        • 能量二级修正、波函数一级修正

      • 定态简并微扰

        • 在简并子空间怎么展开？

        • H原子Stark效应

          • 氢原子在外电场作用下产生的谱线分裂现象

          • 电子在氢原子中受到球对称的库仑场作用，第n个能级有n^2重简并，当外电场加入后，势场对称性被破坏，简并解除

    • 含时微扰

      • 跃迁概率

        • 跃迁概率振幅推导过程

      • 周期性微扰

        • 电磁波作用于系统

      • 常温时，自发辐射概率»受激辐射概率

      • 偶极跃迁规则

        • Δl=+-1&Δm=0，+-1

      • 什么是禁戒跃迁

        • 不能实现的跃迁

  • 数值解

    • Computational Physics

狄拉克符号

算符

本征方程

线性算符

简并：算符的一个本征值对应多个本征函数的情况

  • 简并度：算符的本征值对应本征函数的个数

对易关系

  • 基本对易关系[x,px]=ihbar等

表象

  • 在量子力学中，态和力学量的具体表示方式

  • 力学量在表象下是一个矩阵

    • 算符在其自身表象下是对角矩阵

两种重要算符

  • 幺正算符

    • 幺正变换

      • 两个表象之间的变换通过幺正算符实现，这种变换叫幺正变化

        • 本征值&trace不改变、概率守恒

    • 粒子数算符

  • 厄米算符

    • 对应厄米矩阵

    • 证明动量算符是厄米算符

    • 证明厄米算符的平均值&本征值是实数 不同本征值对应的本征函数相互正交（不考虑简并）

    • 动量算符本征函数

力学量测量

  • 几种基本的力学量本征值&本征函数

  • 力学量完全集

    • 自由粒子、氢原子的力学量完全集及其适用条件

    • 一组完全确定体系状态的两两对易的力学量

  • 不确定关系

    • x px>=h(bar)/2物理意义：微观粒子的坐标和动量不能同时确定

  • 守恒量

    • 条件

      • 算符不显含时间

      • 算符与系统哈密顿量对易

    • 空间平移不变-动量守恒 空间转动不变-角动量守恒 时间平移不变-能量守恒 空间反演不变-宇称守恒

全同性原理

自旋

  • 不考角动量耦合

  • 塞曼效应

    • 正常塞曼效应

      • 强磁场下，不考虑LS耦合，原子光谱线分裂

    • 反常塞曼效应

      • 弱磁场下，考虑LS耦合，原子光谱线分裂

  • 电子自旋特性

    • 在相对论量子力学中，自旋自然地包含在相对论波动方程中，总角动量守恒

    • 自旋是电子的一种内禀属性，而非机械运动

    • 自旋是一种角动量，满足角动量最一般的对易关系，在任何方向的投影为(+-)hbar/2

    • 自旋是一个新的自由度，与电子空间运动无关

    • 自旋是一种量子效应，没有经典对应量

  • 自旋三重态&单态

    • 交换对称和反对称

  • 泡利矩阵

全同粒子

  • 全同粒子：质量、电荷、自旋等其他所有固有内禀属性完全相同的粒子。 全同粒子在量子力学中无法区分。

  • 全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同，用一个全同粒子代换另一个，不引起物理状态的变化。

    • 全同粒子构成的体系及特点

      • 费米子体系（物质粒子）

        • 用交换反对称的波函数描述

        • 由自旋为h(bar)/2奇数倍的粒子构成 满足费米狄拉克统计

      • 玻色子体系（信息粒子）

        • 用交换对称的波函数描述

        • 由自旋为h(bar)/2偶数倍的粒子构成 满足BE统计